#進法 #整数問題 #中学入試 #算数 #思考力

■ 問題

abc₍5₎ = cba₍7₎

上式を満たす数について、
10進法で表しなさい。

■ 方針

それぞれを10進法に直す。

■ 展開

abc₍5₎

= 25a + 5b + c

■ 次

cba₍7₎

= 49c + 7b + a

■ 方程式

25a + 5b + c

= 49c + 7b + a

■ 整理

24a − 2b − 48c = 0

■ 2で割る

12a − b − 24c = 0

■ bについて

b = 12a − 24c

■ 数字の条件

5進法なので

a,b,c は 0〜4

ただし a ≠ 0

■ bの範囲

0 ≤ b ≤ 4

より

0 ≤ 12a − 24c ≤ 4

■ 整理

12(a−2c)

が 0〜4 に入る必要がある。

12の倍数でこの範囲に入るのは

0 のみ。

■ よって

a − 2c = 0

→ a = 2c

■ 候補

c=1 → a=2
c=2 → a=4
c=3 → a=6（不可）

■ c=1 のとき

a=2

b=0

■ 確認

201₍5₎

= 2×25 + 1 = 51

102₍7₎

= 49 + 2 = 51

OK

■ c=2 のとき

a=4

b=0

■ 確認

402₍5₎

= 4×25 + 2 = 102

204₍7₎

= 2×49 + 4 = 102

OK

■ 結論

51 と 102

■ ポイント

・進法は10進法へ直す
・桁条件を忘れない
・範囲でしぼるのがコツ

進法と整数処理を組み合わせた
非常に美しい良問です。

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